UNIDAD 5

CALCULO DIFERENCIAL

Unidad 5

APLICACIONES DE LA DERIVADAS

RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES

PENDIENTE DE LA TANGENTE A LA CURVA:

Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto.

Es igual al valor de la derivada en cualquier punto.Se representa matemáticamente:

PENDIENTE DE LA NORMAL A LA CURVA:

Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva. La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí.

Es igual a la reciproca de la pendiente de la tangente a la curva. Se representa matemáticamente: 

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variable diferenciable de dimensión.

TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LEGRANGE O TEOREMA DEL 

VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL.

Según este teorema, si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en 

el intervalo abierto (a, b), entonces existe un punto en el intervalo abierto (a, b) tal que la pendiente 

de la tangente en ese punto es igual a. De acuerdo con la definición geométrica, si f es continua en 

[a, b] y diferenciable en (a, b), la pendiente de la recta que une (a, f(a)) y (b, f(b)) es y f'(c) es la pendiente 

de la tangente (c, f(c)) para la gráfica de y = f(x). Entonces el teorema de valor medio dice que si la 

curva es continua y = f(x) tiene una tangente en cada punto (x, f(x)) para a<x<b, entonces para algún 

punto (c, f©), donde a<c<b, la tangente a la curva es paralela a la línea que une los puntos (a, f(a)) y 

(b, f(b)) en la curva. En este caso, siempre podemos encontrar el punto c \ en (a, b) tal que = f'(c).

Ejemplo:

Supongamos que una motocicleta hace un viaje a una velocidad de 50 km en una hora. Por lo tanto, 

su razón promedio en ese instante es 50km/h. A fin de mantener una velocidad constante de 

50km/h, la motocicleta tiene que viajar a 50 km / h durante todo el tiempo completo o, en caso 

de que la motocicleta frene en ciertos momentos, entonces debe llenar este vacío acelerando 

en algunos momentos para mantener la razón de 50km/h durante todo el viaje. Aquí el Teorema del 

valor medio puede afirmar que durante todo el recorrido, puede haber llegado un punto donde la 

velocidad real de la motocicleta, coincide con la velocidad media, es decir 50 km / h. Este teorema, 

conocido también como el Teorema de Lagrange, tiene una importancia extrema en el cálculo y 

puede ser útil para la solución de numerosos problemas.

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES. 

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION.

Funcion Creciente Y Decreciente.

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que 

f( x1 ) < f( x2 ). 

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2). 

Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ). 

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

EJEMPLO:

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si: 

1. Si f'(a) = 0. 

2. Si f''(a) ≠ 0. 

Máximos locales 

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo olocal si se cumple: 

1. f'(a) = 0 

2. f''(a) < 0 

Mínimos locales 

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple: 

1. f'(a) = 0 

2. f''(a) > 0

ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNCIONES

  

Cuando la variación total de cualquier función particular es finita, en ese caso, esa función se 

conoce como Función de Variación Acotada, que puede ser abreviada como función BV (Bounded 

Variation por sus siglas en inglés). El gráfico correspondiente de la función BV se dice entonces 

que se comporta bien en un sentido preciso. La función BV tiene amplias aplicaciones en el campo 

de las matemáticas, y es utilizada en algunos de los teoremas más importantes, tal como son los 

Teoremas de Fourier. En el caso de la funciones continuas que contienen sólo una variable, la variación 

acotada implica la distancia finita cubierta por un punto a lo largo del eje y. Otra clasificación establece 

que las funciones de variación acotada, tienen la propiedad de intervalo cerrado, son las funciones 

que se pueden establecer como la diferencia entre dos monótonas acotadas. 

La variación Acotada de una función determinada en el intervalo [x, y] puede ser establecida como 

Donde S es el conjunto acotado:

La variación resulta ser infinita si el conjunto no es acotado. El supremo de S puede ser llamado 

también como Variación Total o sólo la variación de f y se denota como V (f; x, y) o simplemente V (x).

CALCULO DE APROXIMACIONES USANDO LA DIFERENCIEL.

Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como 

un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. 

La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo 

sobre la gráfica de y = f (x) Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo 

sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dyson paralelos a los ejes antiguos.

En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en 

consecuencia, su ecuacion es bastante simple, a saber: dy = mdx, donde m es la pendiente. Ahora, 

como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ¡¯(x), se tiene 

entonces: dy = f ¡¯(x) dx Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferencial. 

En cálculo, la diferencial representa la parte principal del cambio en una función y = ƒ(x) con 

respecto a los cambios en la variable independiente. La misma diferencia se define por una 

expresión de la forma 

dy = {dy}{dx}\dx 

como si el derivados dy/dx representa el cociente de una cantidad dy por una cantidad dx. 

También se escribe: 

df(x) = f’(x)dx. 

El significado preciso de tales expresiones depende del contexto de la aplicación y el nivel 

requerido de rigor matemático. En los tratamientos modernos matemáticos rigurosos, las cantidades 

dy y dx son simplemente más real variables que puede ser manipulado como tal. El dominio de estas 

variables pueden tener un significado geométrico particular, si el diferencial se considera un particular 

forma diferencial, o la importancia de análisis, si el diferencial se considera como una aproximación 

lineal al incremento de una función. En las aplicaciones físicas, las variables dx y dy a menudo, deben 

ser muy pequeñas (“infinitesimal”).

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIONY DE 

TASAS RELACIONADAS.

La optimización se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinación de la forma más apropiada para realizar cierta tarea. Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores mínimos y máximos de la función. Estos incluyen encontrar la distancia mínima para llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc. La función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.

Estos problemas son diferentes a los problemas utilizados para encontrar los valores mínimos o máximos locales. Los Problemas de optimización sólo se ocupan de los valores máximos o mínimos que una función puede tomar y no del mínimo o máximo en un intervalo. Es decir, la optimización busca el mínimo o máximo global (absoluto) y no el local. El mínimo o máximo absoluto es el mayor entre el mínimo o máximo local, respectivamente.

Puede haber casos, donde el mínimo o máximo global no existe para una función. En estos el dibujo de la gráfica para la función correspondiente puede ayudar en gran manera.

Hay algunos pasos que deben seguirse con el fin de desglosar un problema de optimización:
Lo primero y más importante es identificar las vairables y constantes de la función. Esto ayuda a determinar la parte de la función que será minimizada o maximizada.

Escribir la fórmula adecuada para la función particular, para lo cual tenemos que calcular el mínimo o máximo.

Ahora, la fórmula será escrita en términos de una sola variable, es decir, f®.

Establezca la diferenciación de f® a 0, f ‘® = 0, y resuelva a través de observar todas las limitaciones y otros valores críticos para encontrar los valores extremos.


Por ejemplo, considere la función, g ® = -r2 + 4r – 2. Y siendo el intervalo en el cual el valor máximo será encontrado [0, 1]. Calculando g ‘® se obtiene,

g’ ® = −2r + 4 = 0

Por lo tanto, 2 viene a ser un valor crítico, luego reemplazando el 2 en la función g (2) = 2. Ahora sustituyendo uno por uno los valores del intervalo en el lugar de r, obtenemos,

g (0) = −2 g (1) = 1

Se puede observar, que el valor máximo de g® en [0, 1] es 2.