Calculo Diferencial
Unidad III - IV
Unidad III: Limites y Continuidad
LIMITE DE UNA SUCESION
Eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como
queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se
encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica,
en general, que la sucesión tenga un límite.
El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando
los términos de una sucesión.
a1= 1
a2= 0.5
a1000= 0.001
a1000 000 = 0.000001
El límite es 0.
LIMITE DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL
Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un
subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales,
tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:
f:D————->R
x————->x2.
Para que una función quede correctamente definida
es necesario determinar:
~El conjunto inicial o dominio de la función.
~El conjunto final o imagen de la función.
~La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto
origen un solo elemento del conjunto imagen.
Así, por ejemplo, la función definida por:
f:R ——–>R
x———>x2.
CALCULO DE LIMITES
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales,
exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a,
entonces se suele cumplir que:
Es decir: Para calcular el límite se sustituye en
la función el valor al que tienden las x.
No podemos calcular 
porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.
PROPIEDADES DE LOS LIMITES
Las
Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear
con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una
forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el
fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones
o para demostrar si el límite de la función existe o no.
Cuando se trata con la combinación de dos o más
funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan
individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último
combinando estos con el fin de llegar al resultado final.
Estas propiedades expresan que el resultado será el
mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o
realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.
- See more at: http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLosLimites#sthash.HsY3niTd.dpuf
Las
Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear
con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una
forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el
fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones
o para demostrar si el límite de la función existe o no.
Cuando se trata con la combinación de dos o más
funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan
individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último
combinando estos con el fin de llegar al resultado final.
Estas propiedades expresan que el resultado será el
mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o
realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.
- See more at: http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLosLimites#sthash.HsY3niTd.dpufLas Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de llegar al resultado final.
Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.
Las Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.
Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de llegar al resultado final.
Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites. - See more at: http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLosLimites#sthash.HsY3niTd.dpuf
Las propiedades de los límites implican operaciones que se pueden
emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos
en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse
con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más
funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.
Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo
general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la
ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de
llegar al resultado final.
Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite
es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el
álgebra primero y luego tomando los límites.
EJEMPLOS:
Límite de una constante
Límite de una suma
Límite de un producto
Límite de un cociente
Límite de una potencia
Límite de una función
g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.
Límite de una raíz
Límite de un logaritmo
LIMITES LATERALES
El límte lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a
es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a
por valores mayores que a.
El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a
es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a
por valores menores que a.
LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO
Si una variable independiente x está creciendo indefinidamente através
de valores positivos se escribe
y si decrece a través de valores negativos se denota como
Similarmente cuando una funcion f(x) crece indefinidamente y toma
valores positivos cada vez mayores, es escribe ƒ(x)→ + ∞ y si decrece
tomando valores negativos se escribe ƒ(x)→ – ∞.
ASINTOTAS
Una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o
curva, que la distancia entre las 2 tiende a 0 a medida que
se extiende indefinidamente.
También se puede decir que es la curva la que se aproxima
continuamente a la recta, o que en ambas presentan
un comportamiento asintótico.
FINCIONES CONTINUAS Y DISCOTINUAS EN
UN PUNTO Y EN UN INTERVALO
CONTINUA
Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide
con el valor que toma la función en ese punto.
Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su
gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar
el lápiz de la hoja de papel.
Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo
si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. Que el punto x= a tenga imagen.
2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.
3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.
Si una función no es continua en un punto x=a,
diremos que es discontinua en dicho punto.
DISCONTINUA
1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en
él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.
2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando
existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.
El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera
continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.
3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable.
TIPOS DE DISCONTINUIDAD
Discontinuidad evitable
Si una función tiene límite en un punto, pero la función
en ese punto tiene un valor distinto:
o no existe:
se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función,
en ese punto, el valor del límite:
Discontinuidad esencial o no evitable
Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial
cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:
~Existen los límites laterales pero no coinciden.
~Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos.
~No existe alguno de los límites laterales o ambos.
Discontinuidad de primera especie
En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:
De salto finito
Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su
valor es finito, pero no son iguales:
A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito,
y el salto viene dado por: De salto infinitoSi uno de los límites laterales
es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito
y el de la derecha infinito:
como en el caso de que el límite por la izquierda sea
infinito y por la derecha finito:
Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.
Discontinuidad asintótica
Si los dos límites laterales de la función en el punto
x= a son infinitos:
A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama
discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.
Discontinuidad de segunda especie
Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen
alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto,
se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda
especie en ese punto.
Unidad IV: Derivadas
CONSEPTO DE INCREMENTO Y RAZON DE CAMBIO.
LA DERIVADA DE UNA FUNCION
es un vector que apunta hacia la dirección donde la función ve un mayor incremento en su valor.
A la luz de la afirmación anterior se puede concluir
que la derivada de la función es generalmente cero en algunos mínimos
locales o máximos locales dado que en esa posición la función no
notaincrementos hacia una dirección en particular.
En algunos lugares la palabra gradiente también se usa para denotar la derivada de la función.
Sin embargo, esta palabra es más apropiada para la
derivada de la función de un vector o para una función con múltiples
variables.
El símbolo griego delta, representado como un
triángulo es utilizado para mostrar el cambio en el valor de una
variable. y significaría un cambio en el valor de y.
La pendiente de una línea recta se puede calcular como
es un vector que apunta hacia la dirección donde la función ve un mayor incremento en su valor.
A la luz de la afirmación anterior se puede concluir
que la derivada de la función es generalmente cero en algunos mínimos
locales o máximos locales dado que en esa posición la función no
notaincrementos hacia una dirección en particular.
En algunos lugares la palabra gradiente también se usa para denotar la derivada de la función.
Sin embargo, esta palabra es más apropiada para la
derivada de la función de un vector o para una función con múltiples
variables.
El símbolo griego delta, representado como un
triángulo es utilizado para mostrar el cambio en el valor de una
variable. y significaría un cambio en el valor de y.
La pendiente de una línea recta se puede calcular como
La derivada de una función es un vector que apunta hacia la dirección
donde la función ve un mayor incremento en su valor.
A la luz de la afirmación anterior se puede concluir que la derivada
de la función es generalmente cero en algunos mínimos locales o
máximos locales dado que en esa posición la función no nota
incrementos hacia una dirección en particular.
La pendiente de una línea recta se puede calcular como:
La expresión anterior se denomina como cociente de la diferencia. Esto se
debe a que representa la diferencia entre dos cocientes.
La tasa o razón de cambio puede ser constante o no. Una tasa de cambio
constante es aquella que no cambia durante un período de tiempo.
Como sabemos la variación en la tasa es un cociente de la diferencia, la
tasa instantánea de cambio será el límite de esos cocientes.
La tasa de cambio instantánea es popularmente conocida
por el nombre de derivada.
Ejemplo:
LA INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Además de evaluar el valor de una función en cierto punto, también
es esencial que evaluemos la variación en el valor de la función a medida
que la entrada de la función varía.
Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta
lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta
varía en cada punto.
Esto significa que para una línea recta / función lineal se
obtiene un número constante como su pendiente. Mientras que para una
recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la funcion.
Supongamos que una función f(x) = x2. La gráfica de la función luciría
de la siguiente forma:
La curva de color azul representa el gráfico de la función. Tome dos puntos
en el eje x, supongamos x y x0 como en el gráfico de arriba.
Determine el valor de la función en esos valores de x. Ahora trace una línea
que pase por esos puntos sobre la curva de la función para obtener
una línea recta.
A medida que muevo los puntos sobre el eje x más cerca uno del otro
conseguimos una recta menos pronunciada que pasa a través de la curva
de la función. En el instante que x = x0, la gráfica se vería así
CONCEPTO DE DIFERIENCIA, INTERPRETACION
GEOMETRICA DE LOS DIFERENCIALES
El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de
la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.
Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la
recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de
un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y)
y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo,
sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.
Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir
del punto en que se toma el diferencial. El incremento 
que se tome
que se tome
representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.
Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá
del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que
en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por 
y .
y .
PROPIEDAD DE LA DERIVADA
Las derivadas forman una parte importante del cálculo.
Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de
variación de la salida de una función así como varía la entrada de la función.
En base a la definición anterior está claro que la salida de la función es
una función de la entrada de la función.
Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes
estudiar antes de saltar de lleno en el tema.
Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:
1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede
concluir que la función f(x) es continua en el punto p.
2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las
derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla
aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida
por el nombre de la regla de la linealidad.
3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una
función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la
derivada de la misma función.
4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.
5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.
6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.
7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de
la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia
reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la
potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad
anterior sea cierta.
8. La derivada de la división de una función con alguna otra función
es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera
función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda
función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda
función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se
conoce por el nombre de la regla del cociente.
REGLA DE LA CADENA
la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición
de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas
cuando existe composición de funciones.
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable
u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio
de y con respecto ax puede ser calculada con el producto de la razón de cambio
de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
Las
Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear
con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una
forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el
fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones
o para demostrar si el límite de la función existe o no.
Cuando se trata con la combinación de dos o más
funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan
individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último
combinando estos con el fin de llegar al resultado final.
Estas propiedades expresan que el resultado será el
mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o
realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.
- See more at: http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLosLimites#sthash.HsY3niTd.dpuf
Las
Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear
con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una
forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el
fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones
o para demostrar si el límite de la función existe o no.
Cuando se trata con la combinación de dos o más
funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan
individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último
combinando estos con el fin de llegar al resultado final.
Estas propiedades expresan que el resultado será el
mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o
realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.
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