UNIDAD 5

CALCULO DIFERENCIAL

Unidad 5

APLICACIONES DE LA DERIVADAS

RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO. CURVAS ORTOGONALES

PENDIENTE DE LA TANGENTE A LA CURVA:

Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto.

Es igual al valor de la derivada en cualquier punto.Se representa matemáticamente:

PENDIENTE DE LA NORMAL A LA CURVA:

Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva. La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí.

Es igual a la reciproca de la pendiente de la tangente a la curva. Se representa matemáticamente: 

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variable diferenciable de dimensión.

TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DE LEGRANGE O TEOREMA DEL 

VALOR MEDIO DEL CALCULO DIFERENCIAL.

Según este teorema, si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en 

el intervalo abierto (a, b), entonces existe un punto en el intervalo abierto (a, b) tal que la pendiente 

de la tangente en ese punto es igual a. De acuerdo con la definición geométrica, si f es continua en 

[a, b] y diferenciable en (a, b), la pendiente de la recta que une (a, f(a)) y (b, f(b)) es y f'(c) es la pendiente 

de la tangente (c, f(c)) para la gráfica de y = f(x). Entonces el teorema de valor medio dice que si la 

curva es continua y = f(x) tiene una tangente en cada punto (x, f(x)) para a<x<b, entonces para algún 

punto (c, f©), donde a<c<b, la tangente a la curva es paralela a la línea que une los puntos (a, f(a)) y 

(b, f(b)) en la curva. En este caso, siempre podemos encontrar el punto c \ en (a, b) tal que = f'(c).

Ejemplo:

Supongamos que una motocicleta hace un viaje a una velocidad de 50 km en una hora. Por lo tanto, 

su razón promedio en ese instante es 50km/h. A fin de mantener una velocidad constante de 

50km/h, la motocicleta tiene que viajar a 50 km / h durante todo el tiempo completo o, en caso 

de que la motocicleta frene en ciertos momentos, entonces debe llenar este vacío acelerando 

en algunos momentos para mantener la razón de 50km/h durante todo el viaje. Aquí el Teorema del 

valor medio puede afirmar que durante todo el recorrido, puede haber llegado un punto donde la 

velocidad real de la motocicleta, coincide con la velocidad media, es decir 50 km / h. Este teorema, 

conocido también como el Teorema de Lagrange, tiene una importancia extrema en el cálculo y 

puede ser útil para la solución de numerosos problemas.

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES. 

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION.

Funcion Creciente Y Decreciente.

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que 

f( x1 ) < f( x2 ). 

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2). 

Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ). 

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

EJEMPLO:

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si: 

1. Si f'(a) = 0. 

2. Si f''(a) ≠ 0. 

Máximos locales 

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo olocal si se cumple: 

1. f'(a) = 0 

2. f''(a) < 0 

Mínimos locales 

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple: 

1. f'(a) = 0 

2. f''(a) > 0

ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNCIONES

  

Cuando la variación total de cualquier función particular es finita, en ese caso, esa función se 

conoce como Función de Variación Acotada, que puede ser abreviada como función BV (Bounded 

Variation por sus siglas en inglés). El gráfico correspondiente de la función BV se dice entonces 

que se comporta bien en un sentido preciso. La función BV tiene amplias aplicaciones en el campo 

de las matemáticas, y es utilizada en algunos de los teoremas más importantes, tal como son los 

Teoremas de Fourier. En el caso de la funciones continuas que contienen sólo una variable, la variación 

acotada implica la distancia finita cubierta por un punto a lo largo del eje y. Otra clasificación establece 

que las funciones de variación acotada, tienen la propiedad de intervalo cerrado, son las funciones 

que se pueden establecer como la diferencia entre dos monótonas acotadas. 

La variación Acotada de una función determinada en el intervalo [x, y] puede ser establecida como 

Donde S es el conjunto acotado:

La variación resulta ser infinita si el conjunto no es acotado. El supremo de S puede ser llamado 

también como Variación Total o sólo la variación de f y se denota como V (f; x, y) o simplemente V (x).

CALCULO DE APROXIMACIONES USANDO LA DIFERENCIEL.

Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como 

un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. 

La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo 

sobre la gráfica de y = f (x) Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo 

sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dyson paralelos a los ejes antiguos.

En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en 

consecuencia, su ecuacion es bastante simple, a saber: dy = mdx, donde m es la pendiente. Ahora, 

como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ¡¯(x), se tiene 

entonces: dy = f ¡¯(x) dx Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferencial. 

En cálculo, la diferencial representa la parte principal del cambio en una función y = ƒ(x) con 

respecto a los cambios en la variable independiente. La misma diferencia se define por una 

expresión de la forma 

dy = {dy}{dx}\dx 

como si el derivados dy/dx representa el cociente de una cantidad dy por una cantidad dx. 

También se escribe: 

df(x) = f’(x)dx. 

El significado preciso de tales expresiones depende del contexto de la aplicación y el nivel 

requerido de rigor matemático. En los tratamientos modernos matemáticos rigurosos, las cantidades 

dy y dx son simplemente más real variables que puede ser manipulado como tal. El dominio de estas 

variables pueden tener un significado geométrico particular, si el diferencial se considera un particular 

forma diferencial, o la importancia de análisis, si el diferencial se considera como una aproximación 

lineal al incremento de una función. En las aplicaciones físicas, las variables dx y dy a menudo, deben 

ser muy pequeñas (“infinitesimal”).

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIONY DE 

TASAS RELACIONADAS.

La optimización se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinación de la forma más apropiada para realizar cierta tarea. Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores mínimos y máximos de la función. Estos incluyen encontrar la distancia mínima para llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc. La función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.

Estos problemas son diferentes a los problemas utilizados para encontrar los valores mínimos o máximos locales. Los Problemas de optimización sólo se ocupan de los valores máximos o mínimos que una función puede tomar y no del mínimo o máximo en un intervalo. Es decir, la optimización busca el mínimo o máximo global (absoluto) y no el local. El mínimo o máximo absoluto es el mayor entre el mínimo o máximo local, respectivamente.

Puede haber casos, donde el mínimo o máximo global no existe para una función. En estos el dibujo de la gráfica para la función correspondiente puede ayudar en gran manera.

Hay algunos pasos que deben seguirse con el fin de desglosar un problema de optimización:
Lo primero y más importante es identificar las vairables y constantes de la función. Esto ayuda a determinar la parte de la función que será minimizada o maximizada.

Escribir la fórmula adecuada para la función particular, para lo cual tenemos que calcular el mínimo o máximo.

Ahora, la fórmula será escrita en términos de una sola variable, es decir, f®.

Establezca la diferenciación de f® a 0, f ‘® = 0, y resuelva a través de observar todas las limitaciones y otros valores críticos para encontrar los valores extremos.


Por ejemplo, considere la función, g ® = -r2 + 4r – 2. Y siendo el intervalo en el cual el valor máximo será encontrado [0, 1]. Calculando g ‘® se obtiene,

g’ ® = −2r + 4 = 0

Por lo tanto, 2 viene a ser un valor crítico, luego reemplazando el 2 en la función g (2) = 2. Ahora sustituyendo uno por uno los valores del intervalo en el lugar de r, obtenemos,

g (0) = −2 g (1) = 1

Se puede observar, que el valor máximo de g® en [0, 1] es 2.

UNIDAD 3 Y 4

Calculo Diferencial

Unidad III - IV

Unidad III: Limites y Continuidad

LIMITE DE UNA SUCESION

Eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como 

queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se 

encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, 

en general, que la sucesión tenga un límite.

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando 

los términos de una sucesión.

  a₁= 1                               

a₂= 0.5                         

a₁₀₀₀= 0.001               

a_{1000 000} = 0.000001

El límite es 0.           

LIMITE DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL

Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un 

subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, 

tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

f:D————->R

x————->x2.

Para que una función quede correctamente definida 

es necesario determinar: 

~El conjunto inicial o dominio de la función. 

~El conjunto final o imagen de la función. 

~La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto 

origen un solo elemento del conjunto imagen. 

Así, por ejemplo, la función definida por:

f:R ——–>R

x———>x2.

CALCULO DE LIMITES

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, 

exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, 

entonces se suele cumplir que:

Es decir: Para calcular el límite se sustituye en

 la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

PROPIEDADES DE LOS LIMITES

Las Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.

Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de llegar al resultado final.

Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.

- See more at: http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLosLimites#sthash.HsY3niTd.dpuf

Las Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.

Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de llegar al resultado final.

Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.

- See more at: http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLosLimites#sthash.HsY3niTd.dpufLas Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.


Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de llegar al resultado final.




Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.


Las Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.

Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de llegar al resultado final.

Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites. - See more at: http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLosLimites#sthash.HsY3niTd.dpuf

Las propiedades de los límites implican operaciones que se pueden 

emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos 

en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse 

con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más 

funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.

Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo 

general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la 

ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de 

llegar al resultado final.

Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite 

es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el 

álgebra primero y luego tomando los límites.

EJEMPLOS:

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc. 

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

LIMITES LATERALES

El límte lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a 

es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a 

por valores mayores que a.

El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a 

es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a 

por valores menores que a.

LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO

Si una variable independiente x está creciendo indefinidamente através 

de valores positivos se escribe 

y si decrece a través de valores negativos se denota como 

Similarmente cuando una funcion f(x) crece indefinidamente y toma 

valores positivos cada vez mayores, es escribe ƒ(x)→ + ∞ y si decrece 

tomando valores negativos se escribe ƒ(x)→ – ∞.

ASINTOTAS

Una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o 

curva, que la distancia entre las 2 tiende a 0 a medida que 

se extiende indefinidamente. 

También se puede decir que es la curva la que se aproxima 

continuamente a la recta, o que en ambas presentan 

un comportamiento asintótico.

FINCIONES CONTINUAS Y DISCOTINUAS EN 

UN PUNTO Y EN UN INTERVALO

CONTINUA

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide 

con el valor que toma la función en ese punto.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su 

gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar 

el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo 

si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Si una función no es continua en un punto x=a, 

diremos que es discontinua en dicho punto.

DISCONTINUA

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en

 él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo. 

2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando 

existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.

 El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera 

continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo. 

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable.

TIPOS DE DISCONTINUIDAD

Discontinuidad evitable 

Si una función tiene límite en un punto, pero la función 

en ese punto tiene un valor distinto: 

o no existe: 

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, 

en ese punto, el valor del límite: 

Discontinuidad esencial o no evitable 

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial 

cuando se produce algunas de las siguientes situaciones: 

~Existen los límites laterales pero no coinciden. 

~Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos. 

~No existe alguno de los límites laterales o ambos. 

Discontinuidad de primera especie 

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos: 

De salto finito 

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su 

valor es finito, pero no son iguales: 

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, 

y el salto viene dado por: De salto infinitoSi uno de los límites laterales 

es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito 

y el de la derecha infinito: 

como en el caso de que el límite por la izquierda sea 

infinito y por la derecha finito: 

Se dice que la discontinuidad es de salto infinito. 

Discontinuidad asintótica 

Si los dos límites laterales de la función en el punto 

x= a son infinitos: 

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama 

discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota. 

Discontinuidad de segunda especie 

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen 

alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, 

se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda 

especie en ese punto.

Unidad IV: Derivadas

CONSEPTO DE INCREMENTO Y RAZON DE CAMBIO. 

LA DERIVADA DE UNA FUNCION

 es un vector que apunta hacia la dirección donde la función ve un mayor incremento en su valor.

A la luz de la afirmación anterior se puede concluir que la derivada de la función es generalmente cero en algunos mínimos locales o máximos locales dado que en esa posición la función no notaincrementos hacia una dirección en particular.

En algunos lugares la palabra gradiente también se usa para denotar la derivada de la función.

Sin embargo, esta palabra es más apropiada para la derivada de la función de un vector o para una función con múltiples variables.

El símbolo griego delta, representado como un triángulo es utilizado para mostrar el cambio en el valor de una variable. y significaría un cambio en el valor de y.

La pendiente de una línea recta se puede calcular como

- See more at: http://mitecnologico.com/igestion/Main/ConceptosDeIncrementoYDeRazonDeCambioLaDerivadaDeUnaFuncion#sthash.YZylWewe.dpuf

 es un vector que apunta hacia la dirección donde la función ve un mayor incremento en su valor.

A la luz de la afirmación anterior se puede concluir que la derivada de la función es generalmente cero en algunos mínimos locales o máximos locales dado que en esa posición la función no notaincrementos hacia una dirección en particular.

En algunos lugares la palabra gradiente también se usa para denotar la derivada de la función.

Sin embargo, esta palabra es más apropiada para la derivada de la función de un vector o para una función con múltiples variables.

El símbolo griego delta, representado como un triángulo es utilizado para mostrar el cambio en el valor de una variable. y significaría un cambio en el valor de y.

La pendiente de una línea recta se puede calcular como

- See more at: http://mitecnologico.com/igestion/Main/ConceptosDeIncrementoYDeRazonDeCambioLaDerivadaDeUnaFuncion#sthash.YZylWewe.dpuf

La derivada de una función es un vector que apunta hacia la dirección 

donde la función ve un mayor incremento en su valor. 

A la luz de la afirmación anterior se puede concluir que la derivada 

de la función es generalmente cero en algunos mínimos locales o 

máximos locales dado que en esa posición la función no nota 

incrementos hacia una dirección en particular. 

La pendiente de una línea recta se puede calcular como: 

La expresión anterior se denomina como cociente de la diferencia. Esto se 

debe a que representa la diferencia entre dos cocientes.

La tasa o razón de cambio puede ser constante o no. Una tasa de cambio 

constante es aquella que no cambia durante un período de tiempo.

Como sabemos la variación en la tasa es un cociente de la diferencia, la 

tasa instantánea de cambio será el límite de esos cocientes.

La tasa de cambio instantánea es popularmente conocida 

por el nombre de derivada.

Ejemplo:

LA INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Además de evaluar el valor de una función en cierto punto, también 

es esencial que evaluemos la variación en el valor de la función a medida 

que la entrada de la función varía. 

Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta 

lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta 

varía en cada punto.

 Esto significa que para una línea recta / función lineal se 

obtiene un número constante como su pendiente. Mientras que para una 

recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la funcion.

Supongamos que una función f(x) = x2. La gráfica de la función luciría 

de la siguiente forma:

La curva de color azul representa el gráfico de la función. Tome dos puntos 

en el eje x, supongamos x y x0 como en el gráfico de arriba. 

Determine el valor de la función en esos valores de x. Ahora trace una línea 

que pase por esos puntos sobre la curva de la función para obtener 

una línea recta.

A medida que muevo los puntos sobre el eje x más cerca uno del otro 

conseguimos una recta menos pronunciada que pasa a través de la curva 

de la función. En el instante que x = x0, la gráfica se vería así

CONCEPTO DE DIFERIENCIA, INTERPRETACION 

GEOMETRICA DE LOS DIFERENCIALES

El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de 

la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

 

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la 

recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de 

un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) 

y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, 

sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.

 

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir 

del punto en que se toma el diferencial. El incremento que se tome 

representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.

 

Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá 

del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que 

en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por y .

PROPIEDAD DE LA DERIVADA

Las derivadas forman una parte importante del cálculo. 

Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de 

variación de la salida de una función así como varía la entrada de la función. 

En base a la definición anterior está claro que la salida de la función es 

una función de la entrada de la función. 

Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes 

estudiar antes de saltar de lleno en el tema. 

Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes: 

1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede 

concluir que la función f(x) es continua en el punto p. 

2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las 

derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla 

aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida 

por el nombre de la regla de la linealidad. 

3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una 

función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la 

derivada de la misma función. 

4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero. 

5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno. 

6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto. 

7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de 

la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia 

reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la 

potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad 

anterior sea cierta. 

8. La derivada de la división de una función con alguna otra función 

es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera

 función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda 

función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda 

función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se 

conoce por el nombre de la regla del cociente. 

REGLA DE LA CADENA

la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición 

de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas 

cuando existe composición de funciones. 

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable 

u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio 

de y con respecto ax puede ser calculada con el producto de la razón de cambio 

de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Las Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.

Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de llegar al resultado final.

Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.

- See more at: http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLosLimites#sthash.HsY3niTd.dpuf

Las Propiedades de los límites implican operaciones que se pueden emplear con el fin de simplificar el límite de una función y convertirlos en una forma mucho más sencilla. Estas propiedades pueden utilizarse con el fin de encontrar los límites de las combinaciones de dos o más funciones o para demostrar si el límite de la función existe o no.

Cuando se trata con la combinación de dos o más funciones, por lo general, los límites de las funciones se calculan individualmente, con la ayuda de estas propiedades, y por último combinando estos con el fin de llegar al resultado final.

Estas propiedades expresan que el resultado será el mismo si el límite es tomado primero y después se realiza el álgebra o realizando el álgebra primero y luego tomando los límites.

- See more at: http://mitecnologico.com/igestion/Main/PropiedadesDeLosLimites#sthash.HsY3niTd.dpuf