NÚMEROS REALES
1.1 LA RECTA NUMÉRICA
La recta numérica o recta real es una línea recta la cual contiene todos los números reales, usada para representar los números como puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enteros mediante una recta llamada recta graduada entera ordenados y separados con la misma distancia.
1.2 LOS NÚMEROS REALES
En el primer grupo se encuentran a su vez dos categorías: los enteros, que se dividen en tres grupos (naturales, 0, enteros negativos), y los fraccionarios, que se subdividen en fracción propia y en fracción impropia. Todo ello sin olvidar que dentro de los citados naturales también hay tres variedades: uno, naturales primos y naturales compuestos.
En el segundo gran grupo anteriormente citado, el de los números irracionales, nos encontramos a su vez que existen en su seno dos clasificaciones: irracionales algebraicos e intrascendentes.
1.3 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Los números reales son los números que se utilizan para la medición de cantidades reales. Incluyen los números racionales, números irracionales, números enteros, decimales. Estas cantidades reales incluyen longitud, velocidad, temperatura ambiente, y muchos más. Los números racionales e irracionales llenan completamente la recta numérica y forman el conjunto de los números reales.
1.4 INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN MEDIANTE DESIGUALDADES.
INTERVALO:
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.
INTERVALO ABIERTO:
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.
(a, b) = {x 
/ a < x < b}
/ a < x < b}
INTERVALO CERRADO:
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
INTERVALO ABIERTO POR LA IZQUIERDA:
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
INTERVALO ABIERTO POR LA DERECHA:
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
INFINITOS POR LA IZQUIERDA:
Existen dos casos:
Contiene al extremo b. (-∞ , b].
Se representan con la desigualdad -∞ < x ≤ b
No contiene al extremo b. (-∞,b).
Se representan con la desigualdad -∞ < x < b
INFINITOS POR LA DERECHA:
Existen dos casos:
Contiene al extremo a. [a,∞)
Se representan con la desigualdad a ≤ x < ∞
No contiene al extremo a. (a,∞)
Se representan con la desigualdad a < x < ∞
/ a ≤ x ≤ b}
INTERVALO ABIERTO POR LA IZQUIERDA:
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
(a, b] = {x / a < x ≤ b}
/ a < x ≤ b}
INTERVALO ABIERTO POR LA DERECHA:
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x / a ≤ x < b}
/ a ≤ x < b}
INFINITOS POR LA IZQUIERDA:
Existen dos casos:
Contiene al extremo b. (-∞ , b].
Se representan con la desigualdad -∞ < x ≤ b
No contiene al extremo b. (-∞,b).
Se representan con la desigualdad -∞ < x < b
INFINITOS POR LA DERECHA:
Existen dos casos:
Contiene al extremo a. [a,∞)
Se representan con la desigualdad a ≤ x < ∞
No contiene al extremo a. (a,∞)
Se representan con la desigualdad a < x < ∞
1.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Y DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA.
DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA:
Las desigualdades de primer grado (lineales), se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales.
Es decir, se puede despejar la incógnita utilizando operaciones idénticas en ambos lados de la desigualdad.
Como veremos en los ejemplos, es necesario tomar en cuenta una diferencia muy importante, pues cuando se multiplica una desigualdad por algún valor negativo, la dirección de la desigualdad se invierte, es decir, de menor que cambia a menor que y viceversa.
DESIGUALDADES CUADRÁTICAS CON UNA INCÓGNITA:
Las desigualdades de primer grado (lineales), se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales.
De acuerdo a las características de la expresión cuadrática, podemos determinar si la resolveremos por fórmula general, por factorización, o despejando.
Además de tener en cuenta el efecto de la multiplicación por números negativos en la dirección de la desigualdad, también tenemos que considerar el efecto de la raíz cuadrada. Este efecto lo explicaremos en los ejemplos.
El resultado lo representaremos en notación de intervalos y con representación sobre la recta numérica.
1.6 VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES
El valor absoluto de cualquier número es siempre positivo. Este valor puede ser conocido también como el módulo del número.
El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”.Por ejemplo, la posición de 2 y −2 en la recta numérica indica que −2 <2, pero que ambos están a la misma distancia de 0.Por lo tanto, se dice que −2 y 2 tienen el mismo valor absoluto.
El valor absoluto de un número x se escribe como | x |, y se lee como “módulo de x”.Por ejemplo, la posición de 2 y −2 en la recta numérica indica que −2 <2, pero que ambos están a la misma distancia de 0.Por lo tanto, se dice que −2 y 2 tienen el mismo valor absoluto.
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL VALOR ABSOLUTO:
No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.
Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor absoluto de x es 0 y vice-versa.
| x | = 0 x = 0
Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un producto de dos números es siempre igual al producto de los módulos de ambos números tomados por separado.
| xy| = | x | | y |
Propiedad Aditiva: En concordancia con la propiedad multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo de ambos números.
| x + y| = | x | + | y |
En combinación con estas cuatro propiedades fundamentales, algunas otras de las propiedades más importantes son:
Simetría: Establece que la definición básica del valor absoluto es, en otras palabras, ignorar el signo negativo.
| - x | = x
Identidad de In-discernibles: Equivalente de la definición positiva, establece que si el módulo de la resta de dos números es 0, entonces los dos números son iguales en su valor.
| x – y | x = y
1.7 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO.
La solución de desigualdades que implican valor absoluto requiere algunos conceptos básicos. La definición básica “ El valor absoluto de un número es siempre positivo” no tiene ningún uso mientras se resuelven tales desigualdades.
En la resolución de este tipo de desigualdades aplicaremos en primera instancia una de las cuatro últimas fórmulas, dependiendo del caso.
